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Catalan数详细数学推导多种应用详解 结点数为n的不同形态的二叉

发布时间:2019-07-31 01:18 来源:未知 编辑:admin

  从二叉树的定义来看,二叉树本质上就是一个递归的形式,左子树,右子树,根节点。所以根节点应该不变,需要递归处理的是左右子树。

  也就是说,还是考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=0+2=1+1=2+0。

  所以有3个节点时,递归形式为h(3)=h(2) + h(1)*h(1) + h(2). (注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

  再定义h(0)=1时,这个递推式就表示了组合数学中经典的Catalan数:

  这里我们给出这个递推式的解法,里面会包含很多数学知识和理论推导。建议博友们可以看看,如不感兴趣的可以自行跳过。

  通过数列的这前几项,我们可以猜测这个数列是Catalan数,然而这里根据意义推导出递推式比较难以想象和说明,这里针对这个括号匹配的应用给出另一种表达式的推导。

  (1)考虑n对括号,共有n个左括号“(”和右括号“)”。这n对左右括号的全排列,可以看做是2n个空,将n个左括号放入任意的n个空之中,剩下的位置由右括号填充。其排列数显然为C(n,2n)

  (2)在所有的排列中,显然有部分是非法排列,我们从中减去非法排列个数,即可以得到合法的排列数目,现在考虑非法排列的个数。

  (3)先来观察非法排列的特性,我们假设左括号“(”为1,右括号“)”为-1,非法排列有这样一个性质,对于任意一个非法排列a1,a2 ... an ,比存在一个k,使得 a1+a2+a3..ak0。这里的想法是,假设左右括号可以这样匹配()进行抵消,这里非法的条件便是从左边出现了一个无法被抵消的右括号“)”。这里给出n=3的一个例子:

  在k=5时出现了非法的情况。我们将1-5元素进行翻转即1和-1进行置换,该序列就变成了

  对于这种有n+1个1,n-1个-1的排列,总是存在一个最小的k,我们只需要从第1个到第k个元素翻转回去,就能变成对于有n个1,n个-1的情况下的非法排列。即有n+1个1,n-1个-1的排列与非法队列是一一对应的。

  应用3:矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?

  左边矩阵数量可以为1个,2个。。。。n-1个,右边对应为n-1个,n-2个。。。。1个

  应用4:一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?

  (1)这个与加括号的很相似,进栈操作相当于是左括号,而进栈操作相当于右括号。n个数的进栈和出栈次序序列构成了一个

  (2)可以将进出栈序列分为两个部分,先进出栈1个,2个。。。n-1个元素,再进出栈n-1,n-2。。。1个元素。

  应用5:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

  假设有2n个点,从中取任意2点连线将原来的点划分为两个部分,其中各个部分的点数都为偶数,不然不合法,必定有连线相交,设一部分中的点数为2i,则另一部分的点数为2n-2-2i。i可以取0至2n-2。

  RT 其实这是一道ACM的题目来的, 题目地址:请大家多多指教,谢谢。论坛

  求n个无差别的节点构成的二叉树有多少种不同的结构?给定一个整数n,请返回不同结构的二叉树的个数。保证结果在int范围内。测试样例:1返回:1classTreeCount{public:  intCmn...博文来自:zrh_CSDN的博客

  用到了递归的思想先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,有两种情况,一...博文来自:不起眼的小学生

  1.catalan简介  卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)命名。历史上,清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割...博文

  以下代码所测试的树:根据先序遍历结果(带空结点),构造一棵树将树的先序遍历放入数组,空结点用*代替chararr[]=abd**eg***c*f**;再然后,与递归前序遍历树的...博文来自:雪碧柠七的博客

  (1)访问根结点,并将根结点入队;(2)当队列不空时,重复下列操作:  从队列退出一个结点;若其有左孩子,则访问左孩子,并将其左孩子入队;若其有右孩子,则访问右孩子,并将其右孩子入队;#include...博文来自:人苼若只茹初見

  求二叉树的叶子节点有两种方法都是递归实现方法一将先序遍历打印节点改为:先判断是否是叶子节点(左右子树为空)如果是计数器+1,如果不是则不做处理遍历到一个非空节点时判断一次1先判断根节点2在递归遍历左子...博文来自:HiMark

  题目求包含n个节点的二叉树的种类数;方法1设dp[i]表示共有i个节点时,能产生的BST树的个数n==0时,空树的个数必然为1,因此dp[0]=1n==1时,只有1这个根节点,数量也为1,因此dp[1...博文来自:bh_xiaoxinba的博客

  这是一道数据结构练习题,答案是14颗。包含节点{1,2,3,4}的不同二叉搜索树有多少棵?由此问题,我们可以拓展开来:n个互不相同的节点,可以构成多少种拓扑互异的二叉搜索树(BinarySearchT...博文来自:zyt157376的博客

  卡特兰数最常见的描述就是2n个球进站出站有多少种顺序推导:折线)每次可以向右上或者右下走一波,问在不越过x=0x=0这条线的情况下,有多少...博文来自:lyc1635566ty的博客

  Catalan数很重要,学计算机的,没有不知道这个的,我这个非计算机专业的学生,也来凑凑热闹:     卡特兰数和上述定理的应用非常普遍,也是很多IT公司笔试面试的常考点之一,其变换方式层出不穷,有兴...博文来自:stpeace的专栏

  设一棵二叉树中有3个叶子节点,有8个度为1的节点,则该二叉树中总的节点数为?正确答案:B  你的答案:空 (错误)12131415添加笔记收藏纠错解析:有公式:N2=N0-1,度为2的节点个数是度为0...博文来自:chengonghao的博客

  在此给出几个详细介绍的网址。1.百度百科中Catalan函数介绍及简单应用:博文来自:的博客

  设一颗完全二叉树共有1699个结点,则该二叉树中叶子结点数(度为0)为?解析:在二叉树中有关系:度为0的结点个数=度为2的结点个数+1,表示为:n0=n2+1;因为度为1的结点只可能出现在最后一个结点...博文来自:You_are_my_dream的博客

  目录关于卡特兰数:计算公式一般性质代码实现:关于卡特兰数:卡特兰数是一种经典的组合数,经常出现在各种计算中,其前几项为:   1,2,5,14,42, 132,429,1430,4862,16796,...博文来自:xiange的自闭路

  Catalan数一瞥:关于Catalan,这是一个特殊的数列,可以方便求解许多问题。这里,先给出Catalan数的通项公式,再举例进行进一步的分析:。先分析它的递推关系:题目:在一个有n+2条边的多边...博文来自:GYF的博客

  /* * 题意,求节点数为n的二叉树的所有形态,先要想个方式来唯一标示一棵二叉树 * * 方法一:一个前序+一个中序,可以还原一棵唯一的二叉树,故使用【前序输出的字符串+中序输出的字符串】 * 来唯一...博文来自:monsterXD的专栏

  求二叉树的结点个数如下利用递归来实现方法一根据递归函数实现,如果树不为空,根节点为11统计根节点左子树2统计根节点右子树3将左子树节点个数+右子树节点个数+根节点个数1=即为整颗树的节点个数4统计左右...博文来自:HiMark

  二叉树就是说一个结点下面可能有两个子结点(度为2),也可能有一个子结点(度为1),或者没有子结点(度为0,也叫叶子结点)那么在这棵树中只可能出现三种情况:度为2,度为1,度为0(叶子结点)。不可能出现...博文来自:小强博客

  问题引入:现在有1,2,3,...,n个数字,按照顺序入栈,不同的堆栈操作(Push,Pop)顺序可能会得到不同的堆栈输出序列。请问n个数字共有多少种不同的输出序列。解决过程:由于必须先入栈,才能出栈...博文来自:zy010101博客

  相关内容参考:首先,我们设f(n)=序列个数为n的出栈序...博文来自:通往花开的路上

  [color=red]按照二叉树的定义,具有3个结点的二叉树有()种[/color]一共有5种:解析:1.根节点左儿子右儿子2.根节点只有左子树左子树中只有根节点和左儿子3.根节点只有左子树左子树中只...博文来自:天道酬勤,且行且思,勿思而不行

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  二叉树的第i层至多有2i-1个结点深度为h的二叉树至多有2h-1个结点对于一棵二叉树,若含有n0个叶子结点,n2个度为2的结点,则必存在关系式:n2=n0-1具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2...博文来自:fsfsfsdfsdfdr的博客

  二叉树的叶子节点是既没有左子树又没有右子树的特殊的节点,使用递归我们可以方便的计算出共有多少叶子节点。代码上传至 博文来自:的博客

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  性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1  因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,所以结点总数(记为n)=0度结点数(n0)+...博文来自:wongsmax的博客

  weixin_40843625:你好,在吗?我没有看懂能讲的更详细些吗?

  weixin_40581969:非常感谢分享!学习到一种很棒的思路! 可是李老师在HW0中说不允许import任何套件,请问是否还有其他方法呢,感谢!

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